Proponuję niewielkie ćwiczenie z zakresu rachunku różniczkowego. Jak wiadomo, pochodną funkcji f(x)=x^a dla a należącego do R jest f '(x)=a*x^(a-1). Wzór można wyprowadzić na podstawie definicji liczby Eulera:
lim (h dąży do 0) ( (x+h)^a - x^a)/h = x^a lim (h dąży do 0) ( (1+h/x)^a - 1)/h = x^a lim (h dąży do 0) ( e^(a*ln(1+h/x)) - 1)/(a*ln(1+h/x) ) * a * (ln(1+h/x))/h = a*x^(a-1)
Powyższe wyprowadzenie podoba mi się ze względu na elementarność metody. Zastanawia mnie jednak, czy istnieje możliwość wyprowadzenia zależności bez odwoływania się do definicji liczby Eulera. W przypadku a należącego do Q wystarczy zastosować wzory skróconego mnożenia, jednakże sytuacja komplikuje się gdy mamy do czynienia z wykładnikami niewymiernymi.
lim (h dąży do 0) ( (x+h)^a - x^a)/h = x^a lim (h dąży do 0) ( (1+h/x)^a - 1)/h = x^a lim (h dąży do 0) ( e^(a*ln(1+h/x)) - 1)/(a*ln(1+h/x) ) * a * (ln(1+h/x))/h = a*x^(a-1)
Powyższe wyprowadzenie podoba mi się ze względu na elementarność metody. Zastanawia mnie jednak, czy istnieje możliwość wyprowadzenia zależności bez odwoływania się do definicji liczby Eulera. W przypadku a należącego do Q wystarczy zastosować wzory skróconego mnożenia, jednakże sytuacja komplikuje się gdy mamy do czynienia z wykładnikami niewymiernymi.