Zadania
- Thread starter piecia330
- Rozpoczęty
1699850
Chadzam sam, bez stada. Tak lubie, to mi odpowiada
Z 3 lata już takich rzeczy nie robiłem. O ile pamięć mnie nie zawodzi:
1.
a) Ponieważ dziedzina funkcji = R - {-4} to liczymi lim przy x-> -4- i x->-4+ (prawo i lewostronnągranice)
x->-4- lim x2 +3x -4 / x + 4 = lim (x+4)(x-1)/x+4 = lim (-4 - epsilon + 4)(-4 - epsilon-1)/(-4 - epsilon+4) = -5 - epsilon = -5
x->-4+ lim x2 +3x -4 / x + 4 = lim (x+4)(x-1)/x+4 = lim (-4 + epsilon + 4)(-4 + epsilon-1)/(-4 + epsilon+4) = -5 + epsilon = -5
a więc: lim przy x->-4 = -5
b) to samo.
2.
To jest straszny banał. Niech nad tym posiedzi, bo wstyd tego nie rozumieć. Na wiki w "pochodna funkcji" jest tabelka z "Pochodne funkcji elementarnych". Według niej banalnie sobie po kolei przekształcamy
a) f(x) = -1/3 x^3 + 6x -2 pierw(3) - 6pierw(x) - 3/x
f'(x) = -1/3 * 3 x^(3-1) + 6*1 x (1-1) - 0 - 6 / 2* pierw(x) - (- 3 / x^2) = -x^2 + 6 - 3/pierw(x) + 3/ x^2
b) tu według wzorka na pochodną z f/g = (f'*g - f*g' ) / g^2
f'(x) = [2 * (x^2 + 2) - 2x * (2x-1) ]/ (x^2 + 2)^2
3.
Tutaj to wystarczy policzyć f(x) = 0 i f(0).
f(0) = 20
x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0 <-> x^2(x-5) -4(x-5) = 0 <-> (x-5)(x^2-40 =0 <-> (x-5)(x-2)(x+2) = 0 -> x = 5 v x = 2 v x=-2
4.
Tutaj najpierw liczy się pochodną tej funkcji, czyli:
f'(x) = 2 x^2 - 6x - 8 = 2(x-4)(x+1)
Przyrównujemy do zera
2(x-4)(x+1) = 0
Teraz sprawdzamy dla jakich wartości x ta pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnia, a dla jakich ujemne.
Gdy x < -1 : dodatnie
-1<x<4: ujemne
x>4: dodatnie
Z definicji: tam gdzie pochodna jest ujemna, to funkcja maleje. Tam gdzie jest = 0 - stała, tam gdzie jest dodatnia - rośnie.
A więc:
Funkcja f(x) jest rosnąca dla:
x należącego do: (- nieskończoność do -1) U (4 do + nieskończoności) // U to suma zbiorów
Funkcja f(x) jest malejąca dla:
x należącego do: (-1 do 4)
Funkcja f(x) jest stała dla:
x = -1 i x = 4
PS
O tym, że wszędzie najpierw trzeba policzyć dziedziny nawet nie wspominam.
1.
a) Ponieważ dziedzina funkcji = R - {-4} to liczymi lim przy x-> -4- i x->-4+ (prawo i lewostronnągranice)
x->-4- lim x2 +3x -4 / x + 4 = lim (x+4)(x-1)/x+4 = lim (-4 - epsilon + 4)(-4 - epsilon-1)/(-4 - epsilon+4) = -5 - epsilon = -5
x->-4+ lim x2 +3x -4 / x + 4 = lim (x+4)(x-1)/x+4 = lim (-4 + epsilon + 4)(-4 + epsilon-1)/(-4 + epsilon+4) = -5 + epsilon = -5
a więc: lim przy x->-4 = -5
b) to samo.
2.
To jest straszny banał. Niech nad tym posiedzi, bo wstyd tego nie rozumieć. Na wiki w "pochodna funkcji" jest tabelka z "Pochodne funkcji elementarnych". Według niej banalnie sobie po kolei przekształcamy
a) f(x) = -1/3 x^3 + 6x -2 pierw(3) - 6pierw(x) - 3/x
f'(x) = -1/3 * 3 x^(3-1) + 6*1 x (1-1) - 0 - 6 / 2* pierw(x) - (- 3 / x^2) = -x^2 + 6 - 3/pierw(x) + 3/ x^2
b) tu według wzorka na pochodną z f/g = (f'*g - f*g' ) / g^2
f'(x) = [2 * (x^2 + 2) - 2x * (2x-1) ]/ (x^2 + 2)^2
3.
Tutaj to wystarczy policzyć f(x) = 0 i f(0).
f(0) = 20
x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0 <-> x^2(x-5) -4(x-5) = 0 <-> (x-5)(x^2-40 =0 <-> (x-5)(x-2)(x+2) = 0 -> x = 5 v x = 2 v x=-2
4.
Tutaj najpierw liczy się pochodną tej funkcji, czyli:
f'(x) = 2 x^2 - 6x - 8 = 2(x-4)(x+1)
Przyrównujemy do zera
2(x-4)(x+1) = 0
Teraz sprawdzamy dla jakich wartości x ta pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnia, a dla jakich ujemne.
Gdy x < -1 : dodatnie
-1<x<4: ujemne
x>4: dodatnie
Z definicji: tam gdzie pochodna jest ujemna, to funkcja maleje. Tam gdzie jest = 0 - stała, tam gdzie jest dodatnia - rośnie.
A więc:
Funkcja f(x) jest rosnąca dla:
x należącego do: (- nieskończoność do -1) U (4 do + nieskończoności) // U to suma zbiorów
Funkcja f(x) jest malejąca dla:
x należącego do: (-1 do 4)
Funkcja f(x) jest stała dla:
x = -1 i x = 4
PS
O tym, że wszędzie najpierw trzeba policzyć dziedziny nawet nie wspominam.
1, a) i 3. obliczyłem... A) mi dobrze wyszło, a w trzecim miejsca zerowe w punktach -2, 2 i 5, natomiast f(0) = 20... Co do reszty to nie umiałem bo pochodnych w ogóle nie mieliśmy a reszty nie umiałem przekształcić dobrze... Tak czy siak dzięki; ale 1. b) to możesz mi obliczyć bo ni chu chu nie mogę wyprowadzić z niego pierwiastków, a po prostu podstawić to chyba zbyt proste żeby o to chodziło...
