Badanie przebiegu zmienności funkcji - jak wykonać krok po kroku
W niniejszym temacie zostaną przedstawione krok po kroku przykładowe rozwiązania zadań z zakresu przebiegu zmienności funkcji. Wśród zadań, z którymi się spotkałem, niektóre wymagały przykładowo jedynie znalezienia ekstremów, w innych natomiast należało wykonać pełne badanie przebiegu zmienności. Temat został tak rozplanowany, aby stanowił uniwersalny poradnik, jak rozwiązywać takie zadania - aby znaleźć odpowiedni materiał, należy kierować się następująco:
a) wyznaczanie równań asymptot (pionowa, pozioma, ukośna) - sekcja 4 (należy przewijać artykuł w dół; w pewnym miejscu po lewej stronie znajduje się duża, zielona czwórka)
b) własności związane z pierwszą pochodną (monotoniczność, ekstrema) - sekcja 5
c) własności związane z drugą pochodną (wypukłość, punkty przegięcia) - sekcja 6
d) wykonanie tabelki podsumowującej - sekcja 7
Obecnie w temacie znajduje się jedno zadanie z pełnym rozwiązaniem; sukcesywnie będę dodawać kolejne. Ewentualne sugestie proszę zgłaszać na pw.
Zadanie 1: zbadać przebieg zmienności funkcji wielomianowej: f(x)=x[sup]3[/sup]-3x[sup]2[/sup]+x-3
1. Wyznaczenie dziedziny:
x należy do zbioru liczb rzeczywistych.
2. Znalezienie punktów przecięcia z osiami:
Ox - należy przyrównać funkcję do 0:
stąd: A[sub]1[/sub]=(3,0)
Oy - należy obliczyć wartość funkcji dla x=0
f(0)=-3
stąd: B[sub]1[/sub]=(0,-3)
3. Granice na krańcach przedziałów określoności
Funkcja jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych, zatem krańcami przedziałów określoności są nieskończoność oraz -nieskończoność; należy obliczyć granice:
4. Asymptoty: wzorujemy się na artykule http://pl.wikipedia.org/wiki/Asymptota
pionowe: ponieważ dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, asymptoty pionowe nie istnieją
ukośne (czyli również poziome - asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, której współczynnik a jest równy 0):
prawostronna:
ponieważ granica określająca współczynnik a jest równa nieskończoności, asymptota ukośna prawostronna nie istnieje.
lewostronna:
podobnie jak wyżej, asymptota ukośna lewostronna nie istnieje.
5. własności związane z pierwszą pochodną
f '(x)=3x[sup]2[/sup]-6x+1
Monotoniczność oraz ekstrema funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą pierwszej pochodnej. Istnieją również inne metody; zostaną one przedstawione w dalszej części artykułu. Ponieważ funkcja jest różniczkowalna, warunkiem wystarczającym aby funkcja była monotoniczna w danym przedziale jest stałość znaku pochodnej w tym przedziale. Funkcja jest rosnąca w przedziale, w którym pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale, w którym pochodna jest ujemna. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie x[sub]0[/sub] jest f'(x)=0. Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum jest spełnianie przez pochodną określonych warunków w otoczeniu jej miejsca zerowego. Najpierw zostaną wyznaczone przedziały, w których pochodna ma stały znak lub wartość zerową:
W celu stwierdzenia, czy w punkcie podejrzanym znajduje się ekstremum, można skorzystać z wniosków wyciągniętych z definicji: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum
cytując:
Na tej podstawie można wyciągnąć oczywiste wnioski, opisane tutaj: http://pl.wikipedia....remum_lokalnego
Stosując powyższe twierdzenia do punktu x[sub]1[/sub], można otrzymać wniosek:
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest dodatnia, natomiast na prawo jest ujemna - zatem w punkcie x[sub]1[/sub] znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to maksimum;
analogicznie dla punktu x[sub]2[/sub]:
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest ujemna, natomiast na prawo jest dodatnia - zatem w punkcie x[sub]2[/sub] znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to minimum.
Istnieje możliwość zbadania istnienia ekstremum oraz jego rodzaju (maksimum lub minimum) za pomocą drugiej pochodnej, co zostanie opisane poniżej.
6. własności związane z drugą pochodną
f ''(x)=6x-6
Warto najpierw powrócić do zagadnienia badania ekstremów za pomocą drugiej pochodnej. Taka możliwość istnieje w przypadku gdy funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna. Podany wcześniej odnośnik wspomina o kryterium istnienia ekstremum w zależności od drugiej pochodnej:
a) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość większą od 0, w punkcie jest minimum
b) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość mniejszą od 0, w punkcie jest maksimum
c) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość zerową, przypadek jest nierozstrzygnięty - może tam istnieć zarówno ekstremum dowolnego rodzaju, jak i punkt przegięcia.
Dowód powyższych własności można znaleźć w podręczniku (nie: zbiorze zadań) analizy matematycznej.
Stosując powyższe kryterium do punktów x[sub]1[/sub] oraz x[sub]2[/sub], można otrzymać
zatem w punkcie x[sub]1[/sub] istnieje ekstremum i jest to maksimum, co jest zgodne z wynikiem uzyskanym za pomocą poprzedniej metody.
zatem w punkcie x[sub]2[/sub] istnieje ekstremum i jest to minimum.
Wypukłość i punkty przegięcia funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą drugiej pochodnej. Podobnie jak wcześniej, istnieją również inne metody, które zostaną przedstawione w dalszej części artykułu.
Funkcja jest wypukła w górę (wklęsła) gdy druga pochodna jest mniejsza od 0 oraz wypukła w dół (wypukła) gdy druga pochodna jest większa od 0. Warunkiem koniecznym istnienia punktu przegięcia jest f ''(x)=0, ale podobnie jak poprzednio nie jest to warunek wystarczający. Z definicji punktu przegięcia, istnieje on wtedy gdy funkcja zmienia w tym punkcie wypukłość, musi zatem znajdować się pomiędzy przedziałami o różnej wypukłości. Najpierw należy wyznaczyć odpowiednie przedziały:
Oznacza to, że funkcja jest wypukła w dół dla x e (1,+ nieskończoność) oraz wypukła w górę dla x e (- nieskończoność,1). Ponieważ w punkcie x=1 następuje zmiana wypukłości, istnieje tam punkt przegięcia.
7. Na podstawie zgromadzonych danych należy wykonać tabelkę przebiegu zmienności funkcji.
